Spec
環といったら、特に単位元を持つ可換環とします。環 の素イデアル とは、 の真のイデアルであって、
をみたすもののことでした。環 の素イデアル全体の集合を環 のスペクトルといい、 と表します。
2つの環 の間に準同型写像 があるとき、環のスペクトルの間にも次のような写像 を誘導することができます。
写像 を準同型写像 の同伴写像といいます。「環の準同型写像がスペクトルの間の同伴写像の誘導する」ことは「準同型写像による素イデアルの逆像は、また素イデアルになる」という事実から従います。この事実の証明を与えましょう。
補題 : 以下の事実が成り立つ。
(1) 準同型写像によるイデアルの逆像は、またイデアルになる。
(2) 特に真のイデアルの逆像は、また真のイデアルになる。
(3) 特に素イデアルの逆像は、また素イデアルになる。
(証明)
(1) イデアル の逆像 がイデアルの定義をみたすことを確認します。 が を要素に持つことと、どんな の要素 に対しても , ( は任意) が成り立つことの2点を示せばよいです。
一点めを示します。準同型写像では が成り立ちます。イデアルの定義から が成り立つので、 が成り立ちます。あとは逆像の定義から が従います。
二点めを示します。
(2) イデアル の逆像 が真のイデアルであるための必要十分条件は、 が成り立つことです。これを示します。 は真のイデアルなので を要素に持ちません。準同型写像の定義から が成り立つので、逆像 もまた を要素に持たないことがわかります。
(3) 素イデアル の逆像 が素イデアルの定義をみたすことを確認します。どんな要素 に対しても、
が成り立つことを示せばよいです。
以上で、素イデアル の逆像 がまた素イデアルになることを示すことができました。■