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すうがく塾講師の徒然日記

新宿で数学・統計学を教えている講師の思うことを綴るブログ

Lagrange力学

解析力学

質点系の運動を説明するスタンスは幾つか知られている。例えば、Newton力学は、Newtonの運動の法則(慣性の法則運動方程式・作用と反作用の法則)から質点の運動を説明するというスタンス。今日のテーマに掲げるLagrange力学は、配位空間上の2点を結ぶ質点の運動は最小作用の原理によって実現されるというスタンスで、この意味をざっくりと説明できれば幸いです。

変分法の知識

実数空間\mathbb{R}^nに対して、2点A_1, A_2を結ぶ曲線q:[t_1,t_2]\rightarrow\mathbb{R}^n, q(t_i)=A_iをすべて考えよう。このような曲線全体に対して、汎関数Sが以下のようにして与えられていたとする。
S[q]=\int_{t_1}^{t_2}L(q,\dot{q},t)dt
この汎関数を最小にするような曲線q(t)臨界点と呼ばれていて、次の微分方程式の解で与えられることが知られている。
\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}-\frac{\partial L}{\partial q_i}=0
これをEuler-Lagrangeの方程式という。

Lagrange力学とは?

質点系の運動は、直交座標系(x_1,...,x_n)に限らず、例えば極座標(r,\theta)などによっても記述される。Lagrange力学では、運動を記述するための座標系はなんでもよい。とりあえず、座標系を一つ選んで(q_1,...,q_n)と書くことにする。(q_1,...,q_n)はよく一般座標系と呼ばれ、その座標空間を配位空間という。

Lagrange力学では、配位空間\Omega\subset\mathbb{R}^n上の2点間に実現される質点系の運動を次のように定式化する:始点をA_1・終点をA_2とする運動は、配位空間上の2点A_1, A_2を結ぶ曲線q:[t_1,t_2]\rightarrow\Omegaとして表される。この曲線全体に対して、Lagrangianと呼ばれる適切な関数を定義L(q,\dot{q},t)*1し、作用積分と呼ばれる汎関数S[q]=\int_{t_1}^{t_2}L(q,\dot{q},t)dtを考えよう。その臨界点q(t)が実現される運動である。(すなわち、実現される運動はEuler-Lagrangeの方程式の解として求まる。)この定式化を最小作用の原理という。このような定式化の妥当性は、例えば次に紹介するHamiltonの最小作用の原理を参考にしてほしい。

p_i=\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}q_i一般運動量という。これは、次に紹介するHamiltonの最小作用の原理の下では、p_iが運動量に対応するためこのように呼ばれている。Euler-Lagrangeの方程式から\dot{p_i}=\frac{\partial L}{\partial q_i}がわかる。これを一般力という。

Hamiltonの最小作用の原理

直交座標系による配位空間を考え、Lagrangianを
L(x,\dot{x},t):=\frac{1}{2}m\dot{x}-V(x)
(ここでV(x)は位置xにおけるポテンシャル:\frac{dV}{dx}=-F)とするとき、Euler-Lagrange方程式はNewtonの運動方程式に一致する。これをHamiltonの最小作用の原理という。

例:2つの質点を結ぶバネ

質量mの質点2つがバネ定数kのバネで結ばれている質点系を考えて、この運動を記述してみよう。各々の質点の位置をx_1, x_2とおくと、LagrangianL
L(x,\dot{x},t)=\frac{1}{2}m(\dot{x_1}^2+\dot{x_2}^2)-\frac{1}{2}k(x_1-x_2)^2*2
で与えられる。ところで、これからEuler-Lagrange方程式を導出してx_1, x_2について解くのは大変なのでオススメできない。

一方で、新しい座標系q_1=\frac{x_1-x_2}{2}, q_2=\frac{x_1+x_2}{2}をとると、LagrangianL
\tilde{L}(q,\dot{q},t)=m(\dot{q_1}^2+\dot{q_2}^2)-2kq_1^2
と変数変換することができる。このとき、Euler-Lagrangeの方程式は、
m\ddot{q_1}-2kq_1=0, m\ddot{q_2}=0
なので、q_1は単振動・q_2は静止 or 等速直線運動をしていることがわかる*3

新しい座標(q_1,q_2)に変数変換した後のLagrangianは、陽にq_2に依存していない。そのお蔭で、\dot{p_2}=\frac{\partial L}{\partial q_2}=0が直ちに成り立っている。このように、Lagrangianに陽に依存しないような一般座標は循環座標と呼ばれている。(名前の由来は定かでない。)

*1:Lagrange力学で実現される運動を求めるとき、一番難しいのは適切なLagrangianを定義することにある。力学系がNewton力学で記述できる範疇にある場合は、Hamiltonの最小作用の原理からLagrangianを定める。

*2:このLagrange関数は、Hamiltonの最小作用の原理から得られる。第1項は質点2つの運動エネルギー、第2項はバネによるポテンシャル。

*3:q_1は相対座標、q_2は重心座標と呼ばれている。