ミルの不等式

期待値 $\mu$ 、分散 $\sigma^2$ の正規分布 $N(\mu,\sigma^2)$ とは、確率密度関数が

$\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp\left[-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right]$ , $-\infty < x < \infty$
であるような確率分布のことです。特に、期待値が $0$ 、分散が $1$ の場合を標準正規分布というのでした。

正規分布の裾確率 $\mathbb{P}\left[X>\mu+t\sigma\right]$ , ( $t>0$ ) は、 $t$ の値が大きくなるにつれて急速に $0$ に近づくことが知られています。その「急速さ」を表現したものに、次のような定理があります。

定理 : 確率変数 $Z$ が標準正規分布に従うものとします。このとき、以下の不等式が成り立ちます。

$\displaystyle\mathbb{P}\left[Z > t\right] \geq \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\frac{\exp\left[-\frac{t^2}{2}\right]}{t}$

これをミルの不等式といいます。以下では、ミルの不等式の証明を与えましょう。

(proof)
以下のように式を変形してみましょう。

$\begin{align*} \displaystyle\mathbb{P}\left[Z>t\right] &=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{t}^{\infty}\exp\left[-\frac{z^2}{2}\right]dz&\text{標準正規分布の定義}\\ &\geq \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{t}^{\infty}\frac{z}{t}\exp\left[-\frac{z^2}{2}\right]dz&\text{積分範囲から}z/t\geq1\\ &= \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi}t}\int_{t}^{\infty}z\exp\left[-\frac{z^2}{2}\right]dz\\ &= \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi}t}\left[-\exp\left[-\frac{z^2}{2}\right]\right]^{\infty}_{t}\\ &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\frac{\exp\left[-\frac{t^2}{2}\right]}{t} \end{align*}$
これでミルの不等式を示すことができました。■

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